Question

（2010•安徽模拟）若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各数位上的数字之和，如：14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），则f₂₀₁₀（8）=

8

．

Answer 1

分析：由已知中f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]，…，f_k+1（n）=f[f_k（n）]，我们可以逐步求出f₁（8），f₂（8），f₃（8），f₄（8），…的值，并分析其值变化的规律，f_n（8）是以3为周期的周期数列，进而求出结果．

解答：解：由题意
f₁（8）=f（8），∵64+1=65，∴6+5=11，∴f₁（8）=11
f₂（8）=f[f₁（8）]=f（11），∵121+1=122，∴1+2+2=5，∴f₂（8）=5
f₃（8）=f[f₂（8）]=f（5），∵25+1=26，∴2+6=8，∴f₃（8）=8
f₄（8）=f[f₃（8）]=f（8）=f₁（8）
…
所以f₁（8）=f₄（8）=…=f_3n+1（8）=11
f₂（8）=f₅（8）=…=f_3n+2（8）=5
f₃（8）=f₆（8）=…=f_3n（8）=8
∴f₂₀₁₀（8）=f₃（8）=8
故答案为：8

点评：本题考查了新定义型的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．根据已知中的新定义，逐步求出f₁（8），f₂（8），f₃（8），f₄（8），…的值，并分析其值变化的周期性规律，是解答本题的关键．