Question

3．如图，设A，B两点的坐标分别为（-$\sqrt{2}$，0），（${\sqrt{2}$，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．
（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．
②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．

解答 解：（1）设点M的坐标为（x，y），则${k_{AM}}=\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}（{x≠-\sqrt{2}}），{k_{BM}}=\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}（{x≠\sqrt{2}}）$．
由已知有$\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}（{x≠±\sqrt{2}}）$，化简得P的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1（{x≠±\sqrt{2}}）$．
（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．
②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，∵△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）＞0，∴b²＜2k²+1，…（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-4kb}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2（{{b^2}-1}）}}{{1+2{k^2}}}$．∵$|{MN}|=2，\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2$，∴$（{1+{k^2}}）[{{{（{-\frac{-4kb}{{1+2{k^2}}}}）}^2}-\frac{{8（{{b^2}-1}）}}{{1+2{k^2}}}}]=4$，
整理得$\frac{1}{{1+{k^2}}}=2（{1-{b^2}}）$，∵1+k²≥1，∴$0＜\frac{1}{{1+{k^2}}}≤1$，即0＜2（1-b²）≤1，即$\frac{1}{2}≤{b^2}＜1$，满足（*）式，∴$\frac{1}{2}≤{b^2}＜1，{h^2}=\frac{b^2}{{1+{k^2}}}=2{b^2}（{1-{b^2}}）=2-{（{{b^2}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}$，∴当${b^2}=\frac{1}{2}$时，h²取得最大值为$\frac{1}{2}$，
即h的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．