Question

13．已知函数y=x+$\frac{t}{x}$有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函数．
（1）已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）已知函数g（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$和函数h（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得h（x₂）=g（x₁）成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）的最大值为max{f（1），f（3）}；
（2）对原式化简换元有：设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=$μ+\frac{4}{μ}$-8，从而判断函数的单调性，利用集合的关系求出a范围．

解答 解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，
f（x）_min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$；
f（1）＞f（3）所以f（x）_max=f（1）=5
所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．
（2）y=g（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=2x+1+$\frac{4}{2x+1}$-8
设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=$μ+\frac{4}{μ}$-8，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤$\frac{1}{2}$时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，$\frac{1}{2}$]；
当2≤u≤3，即$\frac{1}{2}$≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[$\frac{1}{2}$，1]；
由g（0）=-3，g（$\frac{1}{2}$）=-4，g（1）=-$\frac{11}{3}$，得g（x）的值域为[-4，-3]．
因为h（x）=-x-2a为减函数，故h（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]．
根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，
从而有$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，所以a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了函数的单调性，值域与集合关系以及对新定义理解，属中等题．