Question

8．向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，点D是线段BC的中点，则|$\overrightarrow{AD}$|的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可先画出图形，从而由条件得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，两边平方进行数量积的运算即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6）$，根据不等式a²+b²≥2ab及数量积的计算公式即可得出${\overrightarrow{AD}}^{2}≥\frac{1}{4}（\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{\frac{1}{2}}+6）$，从而便可得出$|\overrightarrow{AD}|$的最小值．

解答 解：如图，
根据条件：
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}）$
=$\frac{1}{4}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+6）$
$≥\frac{1}{4}（2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|+6）$
=$\frac{1}{4}（\frac{2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos60°}{cos60°}+6）$
=$\frac{1}{4}（\frac{2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{cos60°}+6）$
=$\frac{9}{2}$；
∴$|\overrightarrow{AD}|≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
即$|\overrightarrow{AD}|$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a²+b²≥2ab的运用．