Question

16．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，DC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的四棱锥P-ABFE，且PB=$\sqrt{10}$．
（1）求证：AB⊥平面POD；
（2）求四棱锥P-ABFE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥EF，EF⊥DO，EF⊥PO，由此能证明AB⊥平面POA．
（2）连接BO，推导出PO⊥平面ABFE，由此能求出四棱锥P-BFED的体积．

解答 证明：（1）∵点E，F分别是边CA，CB的中点，∴AB∥EF．
∵CD⊥EF，∴EF⊥DO，EF⊥PO，
∵DO?平面POA，PO?平面POA，DO∩PO=O，
∴EF⊥平面POD．∴AB⊥平面POA．
解：（2）连接BO，∴$CD=2\sqrt{3}，DO=PO=\sqrt{3}$，
在Rt△BHO中，$BO=\sqrt{B{D^2}+D{O^2}}=\sqrt{7}$，
在△PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO．
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，BO?平面BFED，
∴PO⊥平面ABFE．
梯形BFED的面积为$S=\frac{1}{2}（{EF+AB}）•DO=3\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-BFED的体积$V=\frac{1}{3}S•PO=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．