Question

17．已知函数f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$．
（1）求函数f（x）最大值，并求出相应的x的值；
（2）若关于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）的定义域，再利用导数法求得f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）利用（1）中的结论f（x）_max=5，再解不等式5≤|m-2即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{5-x≥0}\end{array}\right.$得：0≤x≤5．
∵f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{2\sqrt{5-x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}•\sqrt{5-x}}$，
令f′（x）=0，解得x=4．
当0≤x＜4时，f′（x）＞0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在区间[0，4）上单调递增，
当4＜x≤5时，f′（x）＜0，故f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$在区间（4，5]上单调递减，
∴当x=4时，f（x）=2$\sqrt{x}$+$\sqrt{5-x}$取得极大值，也是最大值，
∴f（x）_max=f（4）=5．
（2）若关于x的不等式．f（x）≤|m-2|恒成立，则|m-2|≥f（x）_max=5，
解得：m≤-3或m≥7．
∴实数m的取值范围为：（-∞，-3]∪[7，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数法求最值，求得f（x）_max=f（4）=5是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．