Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π；
（I）求f（x）的解析式；
（2）把函数f（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向左平移m（m＞0）个单位使所得函数的图象关干点（$\frac{π}{6}$，0）对称，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．可得周期，从而得到ω=1，再由函数f（x）为偶函数，得到φ=$\frac{π}{2}$，从而得到函数式；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和三角函数的对称性即可得解．

解答 解：（1）由图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
即有T=2π，ω=$\frac{2π}{T}$=1，
由函数f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，
则φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k为整数，由0≤φ≤π，则φ=$\frac{π}{2}$，
则f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx；
（2）由（1）可得：f（x）=cosx，从而可得：f（2x+$\frac{π}{3}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
把函数f（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得图象对应的解析式为：y=cos[2（x+m）+$\frac{π}{3}$]=cos（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
又所得函数的图象关干点（$\frac{π}{6}$，0）对称，
可得：2×$\frac{π}{6}$+2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
由于：m＞0，
所以：当k=1时，m的最小值为$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查三角恒等变换公式的运用，考查函数的奇偶性和周期性及运用，考查数形结合思想和化简计算能力，属于中档题．