Question

系数{a_n}满足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N⁺），则m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的整数部分是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，利用裂项法进行求和，即可得到结论．

解答： 解：由a_n+1=a_n²-a_n+1，
得a_n+1-1=a_n²-a_n=a_n（a_n-1），
取倒数得

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
即m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=

1

a1-1

-

1

a2-1

+

1

a2-1

+…+

1

a2013-1

-

1

a2014-1

=2-

1

a2014-1

，
可以证明a_n+1＞a_n，a₂＞2，
∴a₂₀₁₄＞2，故a₂₀₁₄-1＞1，
故m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的整数部分是1，
故答案为：1

点评：本题主要考查递推数列的应用．根据递推公式求出

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

是解决本题的关键．难度较大．