Question

给出下列命题：
①非零向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则

a

与

b

的夹角为60°；
②若

a

•

b

＞0，则

a

与

b

的夹角为锐角；
③△ABC中，有一点O满足

OA

+

OB

+

OC

=0，则O为△ABC的重心；
④对非零向量

a

，

b

，若|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|，则存在实数λ，使得

b

=λ

a

成立．
以上命题正确的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①非零向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，设

OA

=

a

，

OB

=

b

，则|

OA

|=|

OB

|=|

BA

|，可得△OAB是等边三角形，即可判断出；
②若

a

•

b

＞0，则

a

与

b

的夹角为锐角或0°；
③△ABC中，有一点O满足

OA

+

OB

+

OC

=0，设D为边BC的中点，

OB

+

OC

=2

OD

，可得

CO

=2

OD

，O为△ABC的重心；
④对非零向量

a

，

b

，若|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|，则

a

与

b

异向共线，且|

a

|≥|

b

|，因此存在实数λ，使得

b

=λ

a

成立．

解答： 解：①非零向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，设

OA

=

a

，

OB

=

b

，则|

OA

|=|

OB

|=|

BA

|，可得△OAB是等边三角形，∴

a

与

b

的夹角为60°，正确；
②若

a

•

b

＞0，则

a

与

b

的夹角为锐角或0°，因此②不正确；
③△ABC中，有一点O满足

OA

+

OB

+

OC

=0，设D为边BC的中点，

OB

+

OC

=2

OD

，∴

OC

+2

OD

=

0

，即

CO

=2

OD

，因此O为△ABC的重心，正确；
④对非零向量

a

，

b

，若|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|，则

a

与

b

异向共线，且|

a

|≥|

b

|，因此存在实数λ，使得

b

=λ

a

成立，正确．
以上命题正确的个数是3．
故选B．

点评：本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量夹角公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．