Question

已知f（x）是R上的奇函数，f（2）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-2，2）
• B、（-2，0 ）∪（0，2）
• C、（-∞，-2 ）∪（2，+∞）
• D、（-2，0 ）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)

x

，利用导数得到该函数的单调区间，结合该函数的取值情形，进行求解．

解答： 解：设函数g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵x＞0，xf′（x）-f（x）＞0，∴
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=0．g（-2）=0，
∴当x＜-2时，g（x）＞0，
当-2＜x＜0时，g（x）＜0，
当0＜x＜2时，g（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，
∴当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故选：B．

点评：本题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，构造函数是解决本题的关键．