Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当0≤x≤1时，f（x）=1-x²，若直线y=-x+a与曲线y=f（x）恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为（　　）

• A、{a|a=2k+

  3

  4

  或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• B、{a|a=2k-

  1

  4

  或2k+

  3

  4

  ，k∈Z}
• C、{a|a=2k+1或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• D、{a|a=2k+1，k∈Z}

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意画出函数f（x）的图象，并在图中画出关键直线，再由条件转化为求出相切时的切点坐标，利用导数的几何意义，然后再把坐标代入切线方程求出a的值，

解答： 解：设-1≤x≤0时，则0≤-x≤1，∴f（-x）=1-（-x）²，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=1-x²，
∴当-1≤x≤1时，f（x）=1-x²，
∵f（-1+x）=f（-1-x），令x=x+1
∴f（x）=f（-1-x-1）=f（-x-2）=f（x+2）
∴f（x）为周期为2的周期函数，
由题意画出函数f（x）的图象，如图：
其中图中的直线l的方程为：y=-x+1，此时恰有两个交点，
由图得，当-1＜x≤1时，直线l向上平移过程中与曲线y=f（x）恰有3个交点，
直到相切时，设切点为p（x，y），则f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=

1

2

，即y=f（

1

2

）=1-

1

4

=

3

4

，
∴p（

1

2

，

3

4

），代入切线y=-x+a，解得a=

5

4

，
∵f（x）的定义域为R，周期为2，
∴所求的a的集合是：{a|a=2k+1或2k+

5

4

，k∈Z}，
故选：C．

点评：本题考查了函数的性质以及图象的应用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，关键正确作图．