Question

设抛物线C：y²=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

 

．

Answer 1

考点：圆的一般方程,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线方程算出|OF|=

3p

4

，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=

4+ 9p2 16

，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．

解答： 解：因为抛物线C方程为y²=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（

3p

4

，0），可得|OF|=

3p

4

因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=

4+ 9p2 16

，
所以sin∠OAF=

|OF|

|AF|

=

3p 4

4+ 9p2 16

因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=

|AF|

|MF|

=

3p 4

4+ 9p2 16

，
因为|MF|=5，|AF|=

4+ 9p2 16

，
所以

4+ 9p2 16

5

=

3p 4

4+ 9p2 16

，整理得4+

9p2

16

=

15p

4

，解之可得p=

4

3

或p=

16

3

因此，抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故答案为：y²=4x或y²=16x．

点评：本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．