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    【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    考前预估难度

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.4

    测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：

    题号

    学生编号

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    ×

    √

    √

    √

    √

    2

    √

    √

    √

    √

    ×

    3

    √

    √

    √

    √

    ×

    4

    √

    √

    √

    ×

    ×

    5

    √

    √

    √

    √

    √

    6

    √

    ×

    ×

    √

    ×

    7

    ×

    √

    √

    √

    ×

    8

    √

    ×

    ×

    ×

    ×

    9

    √

    √

    ×

    ×

    ×

    10

    √

    √

    √

    √

    ×

    （1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    实测答对人数

    实测难度

    （2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；

    （3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.

    【答案】（1）填表见解析，24人；（2）；（3）是合理的.

    【解析】

    （1）根据已知数据，进行统计，即可容易填表所得结果；结合实测难度，即可求得答对第5题的人数；

    （2）根据题意求得所有抽取的可能以及满足题意的可能，用古典概型的概率求解公式即可容易求得结果；

    （3）根据公式，即可求得对应的，则根据题意即可进行判断.

    （1）毎道题实测的答对人教及相应的实测难度如下表：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    实测答对人数

    8

    8

    7

    7

    2

    实测难度

    0.8

    0.8

    0.7

    0.7

    0.2

    所以，估计120人中有人答对第5题.

    （2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，

    不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为

    ，，，，，，共6种.

    所以，从编号为1~5的学生中随机抽取2人，

    恰好有1人答对第5题的概率为.

    （3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度.

    ，

    因为，所以，该次测试的难度预估是合理的.

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