Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）＞0，f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，f（-1）=2．
（1）求证f（x）在R上为减函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据抽象函数的关系，结合函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为减函数；
（2）利用函数的单调性即可求f（x）在[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，
∵对任意的x，y∈R，总有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上为减函数．
（1）∵f（x）在R上为减函数．
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数，
∴3≤f（x）≤f（-3），
∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）f（-1）=4，
f（-3）=f（-1）f（-2）=2×4=8，
当x＞0时，f（x+0）=f（x）•f（0），
∴f（0）=1，则f（1-1）=f（1）•f（-1）=1，
则f（1）=

1

2

，f（2）=f（1）f（1）=

1

4

，
f（3）=f（1）f（2）=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
即f（x）在[-3，3]上的最大值为8，最小值为=

1

8

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及函数最值的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，