Question

已知f（x）=ln（2x+1），y=f（x）和y=g（x）的图象关于直线y=2x+1对称，M，N分别为y=f（x）和y=g（x）上的点，则|MN|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意可判断M，N分别为y=f（x）和y=g（x）上的点，|MN|的最小值时，即为M到直线y=2x+1的最近的位置，运用导数判断即可．

解答： 解：

f（x）=ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f′（x）=

2

2x+1

，
∵直线y=2x+1，
∴

2

2x0+1

=2，
x₀=0，y₀=ln（2×0+1）=0，
点（0，0）到直线y=2x+1的距离为函数f（x）=ln（2x+1）上的点到直线y=2x+1最小，
∴d=

1

5

，
∵y=f（x）和y=g（x）的图象关于直线y=2x+1对称，M，N分别为y=f（x）和y=g（x）上的点，
∴M（0，0）符合题意，
∴|MN|的最小值为

2 5

5

，
故答案为：

2 5

5

．

点评：本题考查了函数的图象，导数的运用，判断最小值问题，综合运用各种知识，属于难度较大的题目，关键是分析的出求解思路．