Question

【题目】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率， 为坐标原点，圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知四边形内接于椭圆.记直线的斜率分别为，试问是否为定值？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据直线与圆相切可得关于的方程，再根据离心率得到的另一方程，由此解得， ，从而可得椭圆的方程．（Ⅱ）根据题意设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，设， ，根据根与系数的关系

可得， ．又， ，然后计算可得为定值．

试题解析：

（I）直线的方程为，即 ，

由圆与直线相切，得，即①.

又，

所以②.

由①②得， .

故椭圆的标准方程为

（II）为定值，证明过程如下：

由（I）得直线的方程为，故可设直线的方程为，显然.

由消去整理得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以．

设， ，

则， ．

又， ，

所以

.

故是定值．