Question

18．已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点$（{4，-\sqrt{10}}）$，点M（3，m）在双曲线上，
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}M}=0$；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程；
（2）先求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}$，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$的坐标，把点M（3，m）代入双曲线，由数量积的坐标表示可得出$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}M}=0$；
（3）求出三角形的高，即|m|的值，运用三角形的面积公式可得其面积．

解答 解：（1）由离心率e=$\sqrt{2}$，则c=$\sqrt{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
可设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
则由点（4，-$\sqrt{10}$）在双曲线上，
知λ=4²-（-$\sqrt{10}$）²=6，
则双曲线方程为x²-y²=6；
（2）证明：若点M（3，m）在双曲线上，
则3²-m²=6∴m²=3，
由双曲线x²-y²=6，知F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），
又$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2$\sqrt{3}$+3，m），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（3-2$\sqrt{3}$，m），
则$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（2$\sqrt{3}$+3）（3-2$\sqrt{3}$）+m²=9-12+3=0；
（3）△F₁MF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$×2c•|m|=c|m|
=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．