Question

10．△ABC中若面积sinA•cosB-sinB=sinC-sinA•cosC且周长为12，则其面积最大值为108-72$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），代入已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用多项式乘以多项式法则计算，整理后利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简后，得到B+C=90°，即可确定出三角形的形状．设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$，两次运用均值不等式即可求解△ABC面积的最大值．

解答 解：∵sinA•cosB-sinB=sinC-sinA•cosC，
∴sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，
变形得：sin（B+C）（cosB+cosC）=sinB+sinC，
即（sinBcosC+cosBsinC）（cosB+cosC）=sinB+sinC，
展开得：sinBcosBcosC+sinCcos²B+sinBcos²C+sinCcosCcosB=sinB+sinC，
sinBcosBcosC+sinCcosCcosB=sinB（1-cos²C）+sinC（1-cos²B），
cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsin²C+sinCsin²B，即cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsinC（sinB+sinC），
∵sinB+sinC≠0，
∴cosBcosC=sinBsinC，
整理得：cosBcosC-sinBsinC=0，即cos（B+C）=0，
∴B+C=A=90°，
设直角三角形的两直角边分别为c、b，斜边为a，则直角三角形的面积S=$\frac{1}{2}$cb．
由已知，得a+b+c=12，∴c+b+$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=12，
∴12=c+b+$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{bc}$+$\sqrt{2bc}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{bc}$，
∴$\sqrt{bc}$≤$\frac{12}{2+\sqrt{2}}$=12-6$\sqrt{2}$，∴ab≤（12-6$\sqrt{2}$）²=216-144$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤108-72$\sqrt{2}$，当且仅当a=b=12-6$\sqrt{2}$时，S取最大值．
故答案为：108-72$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．