Question

已知f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[0，2）时，f（x）=||2x-1|-1|，若函数y=f（x）-a在区间[-2，3]上有8个零点（互不相同），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：通过去绝对值，x∈[0，2）时，f（x）=

2x 0≤x≤ 1 2 2-2x 1 2 ＜x≤1 2x-2 1＜x＜2

，所以可以画出f（x）在[0，2）上的图象，因为f（x）的周期为2，所以可以得到f（x）在[-2，3]上的图象．令y=f（x）-a=0得，f（x）=a，所以函数y=f（x）-a零点的个数即函数f（x）与函数y=a交点的个数，而由图象即可看出f（x）与y=a交点个数为8时a的取值范围．

解答： （0，1）解：x∈[0，2）时，f（x）=

2x 0≤x≤ 1 2 2-2x 1 2 ＜x≤1 2x-2 1＜x＜2

；
根据f（x）在R上的周期为2，可以画出f（x）在[-2，3]上的图象：

如图，令f（x）-a=0，f（x）=a；
∴函数y零点的情况即函数f（x）与函数y=a交点的情况；
∴函数f（x）和y=a有8个不同交点；
有图象可以看出a的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评：考查对含绝对值函数的处理办法：讨论x取值，去掉绝对值，函数周期的概念，以及知道函数一个周期上的图象画出其它范围的函数图象的方法，以及函数零点和方程解的关系，以及数形结合解决问题的方法．