Question

（1）过点P（0，1）作直线l使它被直线l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
（2）已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点斜率为2

2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=9，求该抛物线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设l₁与l的交点为A（a，8-2a），点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l₂上，解得a，然后求出直线l的方程．
（2）直线AB的方程与y²=2px联立，从而有4x²-5px+p²=0利用韦达定理，以及弦长公式|AB|=x₁+x₂+p=9，求出p从而抛物线方程．

解答： 解：（1）设l₁与l的交点为A（a，8-2a），（2分）
则由题意知，点A关于点P的对称点B（-a，2a-6）在l₂上，
代入l₂的方程得-a-3（2a-6）+10=0，解得a=4，
即点A（4，0）在直线l上，（3分）
所以直线l的方程为x+4y-4=0．（5分）
（2）直线AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），（6分）   
与y²=2px联立，从而有4x²-5px+p²=0，（7分）
所以：x₁+x₂=

5p

4

，（8分）
由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=9，（9分）
所以p=4，从而抛物线方程是y²=8x．（10分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线方程的求法，考查计算能力．