Question

已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．(1-

  2

  2

  ，

  1

  2

  )
• C．(1-

  2

  2

  ，

  1

  3

  ]
• D．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的
交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=

1

3

；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜

1

2

； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1-

2

2

．结合所给的选项，综合可得结论．

解答：解：由题意可得，三角形ABC的面积为

1

2

•AB•OC=1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0，可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为 N，则由

y=ax+b x+y=1

可得点N的坐标为（

1-b

a+1

，

a+b

a+1

）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则-

b

a

=-1，且

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=b=

1

3

．
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于

1

2

，即

1

2

•MB•yN=

1

2

，
即 

1

2

×(1+

b

a

)•

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=

b2

1-2b

＞0，故有 b＜

1

2

．
③若点M在点A的左侧，则-

b

a

＜-1，故b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由

y=ax+b y=x+1

求得点P的坐标为（

1-b

a-1

，

a-b

a-1

），
此时，NP=

( 1-b a+1 - 1-b a-1 )2+( a+b a+1 - a-b a-1 )2

=

[ -2(1-b) (a+1)(a-1) ]2+[ 2ab-2a (a+1)(a-1) ]2

=

(4+4a2)(1-b)2 (a+1)2(a-1)2

=

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

•

1+a2

．
此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于

|0-1+b|

1+a2

．
由题意可得，三角形CPN的面积等于

1

2

，即

1

2

•

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

•

1+a2

•

|0-1+b|

1+a2

=

1

2

．
化简可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此时 b＞a＞0，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
两边开方可得

2

（1-b）=

1-a2

＜1，∴1-b＜

1

2

，化简可得 b＞1-

2

2

．
综合以上可得，b=

1

3

可以，且b＜

1

2

，且b＞1-

2

2

，即b的取值范围是 (1-

2

2

，

1

2

)，
故选B．

点评：本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及
综合分析能力，属于中档题．