Question

已知点P（x，y）在抛物线y²=4x上，点A（a，0），a∈R，记PA最小值为f（a），当

1

3

≤a≤5时，求f（a）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用两点间的距离公式求出|PA|配方后对a分段求出PA的最小值f（a），然后分段求出其最值得答案．

解答： 解：|PA|=

(x-a)2+y2

=

x2-2ax+a2+4x

=

x2-(2a-4)x+a2

=

[x-(a-2)]2+4a-4

．
∵x≥0，
∴当a≤2时，当x=0时|PA|有最小值，最小值f（a）=

a2

=|a|；
当a＞2时，当x=a-2时|PA|有最小值，最小值f（a）=2

a-1

．
∴f(a)=

|a|， 1 3 ≤a≤2 2 a-1 ，2＜a≤5

，
当

1

3

≤a≤2时，f(a)min=

1

3

，f(a)max=2；
当2＜a≤5时，2＜f（a）≤4．
∴f（a）的最大值为4，最小值为

1

3

．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了分段函数的运用，训练了分段函数最值得求法，是中档题．