Question

如图，在△ABC中，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点A₁作直线l与圆E：（x﹣1）+y²=2相交于M、N两点，
试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；
若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵
∴BO|=|OC|=1，
∴∴
依椭圆的定义有：=
∴a=2又c=1，∴b²=a²﹣c²=3
∴椭圆的标准方程为
（2）椭圆的右顶点A₁（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．
假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，
则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离
当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，
此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）
当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k=0
∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解
综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，
此时l方程为x=2