Question

【题目】已知函数，.

（1）若在处的切线与直线平行，求的值及的单调区间；

（2）当时，求证：在定义域内有且只有两个极值点.

Answer 1

【答案】（1），单调区间见解析；（2）见解析

【解析】

（1）对函数求导，令可求得的值，再解关于导数的不等式，即可得到单调区间；

（2）利用分析法证明，当时，即证：有两个不同的根，即证有两个不同的解，即证有两个不同的解，最后利用导数研究函数的图象特征，即可得答案；

（1），，所以，

当时，为增函数，

在区间，，减区间为；

在区间，，，区间增区间为

（2）当时，即证：有两个不同的根，

即证有两个不同的解，

即证有两个不同的解，

令，，，得，

减区间为，增区间为，

当时，，

当时，，

所以当时，方程有两个不同的解，

即在定义域内有且只有两个极值点.