Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且直线与直线的斜率之和为1，试判断直线是否过定点.若过定点，请求出该定点；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点.

【解析】

（1）先利用椭圆定义求出的值，结合的值可求出的值，从而得出椭圆的方程；

（2）先假设直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，再依据两直线斜率之和为1，得出含有和的式子，利用因式分解，可得与的关系，最后讨论不存在的情况即可.

解：（1）易知，椭圆的左焦点为，由椭圆定义可得，∴，

所以，，因此，椭圆的方程为；

（2）设点、

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，易知.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，

由韦达定理得，.

直线和直线的斜率之和为.

化简得，即，

由于，所以，，所以，.

所以，直线的方程为，直线过定点；

②当直线与轴垂直时，设直线的方程为，此时点与点关于轴对称，则，直线和直线的斜率之和为，得.

此时，直线也过点.

综上所述，直线过定点.