Question

【题目】已知函数在定义域内不单调

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数存在3个不同的零点，证明：存在，使得．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）根据函数不是单调函数，可得有两个不同正根，只需函数，即可求解；

（2）令，求得的单调性，且，，根据存在3个不同的零点，得到及的表达式，令，求得，得到存在使得，又由，得出，

进而得到，

法一：令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解；

法二：因为，得到有两根，若是方程的两根，对任意的有，由拉格朗日中值定理即可求解.

（1）因为函数不单调，

所以有两个不同正根，

即得，

此时，，，所以．

（2）令的两根为，且，

则在上递增，上递减，上递增，

且，，，

因为存在3个不同的零点，且时，，时，，

所以，

同理，

令，则，得，

所以在上递增，上递减，

因为，所以，

又因为，当时，

所以存在使得，

因为，所以，

所以，所以，

法一：令，

，，所以有两个根，

设为且，则在上单调递减．

若，则，

即，即；

若同理可证，

所以对于任意的，不等式成立；

即存在，使得成立．

法二：因为，

所以有两根，

若是方程的两根，不妨令，则对任意的有

由拉格朗日中值定理知存在，使得

所以存在，使得．