Question

13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），过点B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）作斜率为1的直线l交椭圆E于C、D两点，点B恰为线段CD的中点，点B恰为线段CD的中点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）线段RS（S为椭圆上半部分不包括左顶点的点）是过椭圆右焦点F的弦，满足$\overrightarrow{RF}$=λ$\overrightarrow{FS}$，当P点坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）且△PRS的面积最大时，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l：y=x-1，与椭圆联立，得（a²+1）x²-2a²x=0，求得方程的解，运用中点坐标公式，求出a=2，由此能求出椭圆E的标准方程；
（2）求得焦点F的坐标，设出直线l的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|RS|，由点到直线的距离公式可得P到直线l的距离，求得三角形PRS的面积，运用换元法和函数的单调性，可得面积的最大值，以及直线l的方程，求得R，S的坐标，可得向量RF，FS的坐标，进而得到所求λ的值．

解答 解：（1）由题意可得直线l：y+$\frac{1}{5}$=x-$\frac{4}{5}$，即y=x-1，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，消去y，可得（1+a²）x²-2a²x=0，
解得x=0或$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，
由点B恰为线段CD的中点，可得0+$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=2×$\frac{4}{5}$，
解得a=2，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可得F（$\sqrt{3}$，0），直线RS的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），
代入椭圆方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|RS|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{192{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{48{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}+16}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
设P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）到直线y=k（x-$\sqrt{3}$）的距离为d，
则d=$\frac{|\sqrt{3}k-\frac{1}{2}-\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得S_△PRS=$\frac{1}{2}$|RS|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{1}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
令$\sqrt{1+{k}^{2}}$=t（t≥1），则k²=t²-1，
则S_△PRS=$\frac{t}{4{t}^{2}-3}$=$\frac{1}{4t-\frac{3}{t}}$，
由4t-$\frac{3}{t}$在[1，+∞）递增，可得$\frac{1}{4t-\frac{3}{t}}$在[1，+∞）递减．
当t=1，即k=0时，S_△PRS取得最大值1，
此时直线方程为y=0，R，S分别为椭圆长轴上两顶点，
即为R（-2，0），S（2，0），$\overrightarrow{RF}$=（2+$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FS}$=（2-$\sqrt{3}$，0），
再由$\overrightarrow{RF}$=λ$\overrightarrow{FS}$，可得λ=$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$=7+4$\sqrt{3}$．
则△PRS的面积最大时，求实数λ=7+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，运用中点坐标公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合函数的单调性，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．