Question

11．在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值；
（3）求直线CP与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面面面垂直的判定与性质定理、矩形的性质即可证明．
（2）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．由PA⊥平面ACD，可取平面ACD法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），设平面ACE法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$ 可得$\overrightarrow{{n}_{2}}$，利用$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$即可得出．
（3）$\overrightarrow{CP}$=（-1，-2，1），设直线CP与平面AEC所成角为θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{n}_{2}}，\overrightarrow{CP}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{{n}_{2}}||\overrightarrow{CP}|}$即可得出．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
矩形ABCD，∴CD⊥DA，又PA∩DA=A，
∴CD⊥平面PAD，
CD?P平面PCD，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，P（0，0，1），D（0，2，0），
C（1，2，0），E$（0，1，\frac{1}{2}）$，
∵PA⊥平面ACD，∴平面ACD法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），设平面ACE法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
  由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$  则y+$\frac{1}{2}z$=0，x+2y=0，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2}{1×3}$=$\frac{2}{3}$，
∴二面角E-AC-D的余弦值为$\frac{2}{3}$．
（3）解：$\overrightarrow{CP}$=（-1，-2，1），设直线CP与平面AEC所成角为θ，sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{n}_{2}}，\overrightarrow{CP}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{{n}_{2}}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查了空间角与空间位置关系、法向量的性质及其应用、矩形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．