Question

10．平行四边形ABCD，证明：|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²+|$\overrightarrow{DA}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²（提示：θ+φ=π，利用余弦定理）

Answer 1

分析 由平行四边形得出θ+φ=π，故而cosθ+cosφ=0，分别在△ABD，△ABC中使用余弦定理，将两式相加即可得出结论．

解答 证明：设∠DAB=θ，∠ABC=φ，
在△ABD中，由余弦定理得|BD|²=|AD|²+|AB|²-2|AD|•|AB|cosθ，①
在△ABC中，由余弦定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB|•|BC|cosφ，②
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴|AB|=|CD|，|AD|=|BC|，cosθ+cosφ=0，
①+②得：|AC|²+|BD|²=|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+|$\overrightarrow{CD}$|²+|$\overrightarrow{DA}$|²

点评 本题考查了余弦定理，属于基础题．