Question

1．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左，右焦点分别是F₁，F₂，点P在双曲线上，且满足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 根据点P为双曲线上一点，且∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，利用双曲线的定义，可求双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线的焦距长为2c，
∵点P为双曲线上一点，且∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，
∴P在右支上，∠F₂PF₁=90°，
即PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2csin60°=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=2ccos60°=c，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，解题的关键是确定|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，运用定义法和离心率公式，属于中档题．