Question

11．已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=x²-2x+2．若对任意x₁∈（0，+∞），存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

Answer 1

分析 由对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），得到f（x₁）_max＜g（x₂）_max．由此能求出结果．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x²-2x+2，
若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴f（x₁）_max＜g（x₂）_max．
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，x₁∈（0，+∞），
由f′（x）=0，得x=-$\frac{1}{a}$．
∴f（x₁）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=ln（-$\frac{1}{a}$）-1．
∵g′（x）=2x-2，x₂∈[0，1]，
∴g′（x₂）＜0，∴g（x₂）_max=g（0）=0-2×0+2=2．
∴由f（x₁）_max＜g（x₂）_max，得ln（-$\frac{1}{a}$）-1＜2，
∴ln（-$\frac{1}{a}$）＜lne³，
解得a＜-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．