Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁＝λ，a_n＋1＝a_n＋n－4，b_n＝(－1)ⁿ(a_n－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
(2)试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有＝a₁a₃，即²＝λ?λ²－4λ＋9＝λ²－4λ?9＝0，矛盾，所以{a_n}不是等比数列．
(2)因为b_n＋1＝(－1)^n＋1[a_n＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)^n＋1＝－(－1)ⁿ·(a_n－3n＋21)＝－b_n.又b₁＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，
b_n＝0(n∈N^*)，此时{b_n}不是等比数列；
当λ≠－18时，b₁＝－(λ＋18)≠0，由b_n＋1＝－b_n.
可知b_n≠0，所以＝－(n∈N^*)．故当λ≠－18时，
数列{b_n}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．