Question

6．已知函数f（x）=x²-ax+2lnx．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若${x_1}∈（0，\frac{1}{e}]$，且f（x₁）≥t+f（x₂）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求出f（1），f′（1），代入直线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为2x²-ax+2≥0在（0，+∞）恒成立，分离参数，求出a的范围即可；
（Ⅲ）求出f′（x），根据f（x）有两个极值点x₁，x₂，可以确定x₁，x₂为f′（x）=0的两个根，从而得到x₁x₂=1，可以确定x₂＞1，求解h（x₁）-h（x₂），构造函数u（x）=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2lnx²，x≥1，利用导数研究u（x）的取值范围，从而求出t的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=x²-2x+2lnx，f′（x）=2x-2+$\frac{2}{x}$，
∴f（1）=-1，f′（1）=2，过（1，-1），斜率是2的直线方程是：
y+1=2（x-1），即：2x-y-3=0；
（Ⅱ）f′（x）=2x-a+$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-ax+2}{x}$，（x＞0），
若函数y=f（x）在定义域上单调递增，
则2x²-ax+2≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤2（x+$\frac{1}{x}$），而x+$\frac{1}{x}$的最小值是2，
故a≤4；
（Ⅲ）∵f（x）=x²-ax+2lnx，
∴h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-ax+2}{x}$，（x＞0），
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁，x₂为f′（x）=0的两个根，即2x²-ax+2=0的两个根，
∴x₁x₂=1，
∵x₁∈（0，$\frac{1}{e}$]，且ax_i=2${{x}_{i}}^{2}$+1（i=1，2），∴x₂∈[e，+∞），
∴f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{2}$-ax₁+2lnx₁）-（${{x}_{2}}^{2}$-ax₂+2lnx₂）
=（-${{x}_{1}}^{2}$-1+2lnx₁）-（-${{x}_{2}}^{2}$-1+2lnx₂）
=${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$+2ln $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$-2ln${{x}_{2}}^{2}$，（x₂＞1），
设u（x）=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2lnx²，x≥e，
∴u′（x）=$\frac{{2{（x}^{2}-1）}^{2}}{{x}^{3}}$≥0，u（x）在[e，+∞）递增，
∴u（x）≥u（e）=e²-$\frac{1}{{e}^{2}}$-4，
∴t∈（-∞，e²-$\frac{1}{{e}^{2}}$-4]．

点评 本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数在某点取得极值的条件．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于难题．