Question

如图，是圆的直径,点是圆上异于的点，直线 分别为的中点。

（1）记平面与平面的交线为，试判断与平面的位置关系，并加以说明；

（2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线

平面所成的角为异面直线与所成的锐角为，二面角的大小为

①求证：

②当点为弧的中点时，，求直线与平面所成的角的正弦值。

 

Answer 1

（1）直线∥平面（2）①详见解析②

【解析】

试题分析：（1）面,根据线线平行，线面平行，线与交线平行，从而得出线面平行，（2）①连接，由（ 1）可知交线即为直线，且∥. 因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面,在不同的直角三角形内构造，做出.③因为∥，所以直线与平面所成的角就为CF与平面所成的角过点C作CG⊥BF,垂足为G，就是直线与平面所成的角.

试题解析：

解（1）直线∥平面，证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以∥. 又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥. 因为平面，平面，所以直线∥平面

（2）①证明：如图，

连接，由（1）可知交线即为直线，且∥. 因为是的直径，所以，于是.

已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作∥，且. 连接，，因为是的中点，，所以，

从而四边形是平行四边形，∥.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 8分

于是在△，△，△中，分别可得，，，

从而，即. 9分

②因为∥，所以直线与平面所成的角就为CF与平面所成的角

过点C作CG⊥BF,垂足为G，因为平面所以CG，又所以CG⊥平面

故就是直线与平面所成的角， ，故直线与平面所成的角的正弦值为 13分

考点：1.线面平行的判定；2线面平行的性质；3.线面垂直的判定；4.二面角；5.线面角.