【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②当且仅当x= 时,四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长l=f(x),x∈0,1]是单调函数;
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h(x)为常函数;
以上命题中真命题的序号为 .
【答案】①②④
【解析】解:①连结BD,B′D′,则由正方体的性质可知,EF⊥平面BDD′B′,所以平面MENF⊥平面BDD′B′,所以①正确.
②连结MN,因为EF⊥平面BDD′B′,所以EF⊥MN,四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x= 时,此时MN长度最小,对应四边形MENF的面积最小.所以②正确.
③因为EF⊥MN,所以四边形MENF是菱形.当x∈[0, ]时,EM的长度由大变小.当x∈[
,1]时,EM的长度由小变大.所以函数L=f(x)不单调.所以③错误.
④连结C′E,C′M,C′N,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以C′EF为底,以M,N分别为顶点的两个小棱锥.因为三角形C′EF的面积是个常数.M,N到平面C'EF的距离是个常数,所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h(x)为常函数,所以④正确.
故答案为:①②④.
①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′.②四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可.③判断周长的变化情况.④求出四棱锥的体积,进行判断.
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【题目】已知椭圆 ()的焦距为4,左、右焦点分别为
,且
与抛物线
:
的交点所在的直线经过
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过
的直线
与
交于
两点,与抛物线
无公共点,求
的面积的取值范围.
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【题目】已知f(n)=2n+1(n∈N*),集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},记f(A)={n|f(n)∈A},f(B)={m|f(m)∈B},f(A)∩f(B)=( )
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{3,5}
D.{3,5,7}
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【题目】如图四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4
,PA=2,点M在线段PD上.
(1)求证:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°,求BM与平面PAC所成的角的正弦值.
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【题目】已知点P是曲线C: ﹣y2=1上的任意一点,直线l:x=2与双曲线C的渐近线交于A,B两点,若
=λ
+μ
,(λ,μ∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
A.λ2+μ2≥
B.λ2+μ2≥2
C.λ2+μ2≤
D.λ2+μ2≤2
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
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【题目】记函数f(x)= 的定义域为集合A,则函数g(x)=
的定义域为集合B,
(1)求A∩B和A∪B
(2)若C={x|p﹣2<x<2p+1},且CA,求实数p的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=lnx.
(1)求函数g(x)=f(x+1)﹣x的最大值;
(2)若对任意x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若x1>x2>0,求证: >
.
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