【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
【答案】
(1)解:∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD,又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
(2)解:设AC与BD交点为O,连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形,又PA=1,AD=2,可得BD=AC=2 ,PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中,
又BD⊥OE,
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3
【解析】(1)由题设条件及图知,可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD,再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可;(2)由图可令AC与BD的交点为O,连接OE,证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角,然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日,有一个群名为“天狼星”的自驾游车队.该车队是由31辆车身长都约为5m(以5m计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为2725m的隧道(通过该隧道的车速不能超过25m/s),匀
速通过该隧道,设车队的速度为xm/s,根据安全和车流的需要,当0<x≤12时,相邻两车之间保持20m的距离;当12<x≤25时,相邻两车之间保持( )m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).
(1)将y表示为x的函数;
(2)求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度.
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【题目】已知a,b,c都是正数,
(1)若a+c=1,试比较a3+a2c+ab2+b2c与a2b+abc的大小;
(2)若a2+b2+c2=1,求证: ﹣ ≥3.
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【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,E、F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②当且仅当x= 时,四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长l=f(x),x∈0,1]是单调函数;
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h(x)为常函数;
以上命题中真命题的序号为 .
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【题目】某种多面体玩具共有12个面,在其十二个面上分别标有数字1,2,3,…,12.若该玩具质地均匀,则抛掷该玩具后,任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.
为检验某批玩具是否合格,制定检验标准为:多次抛掷该玩具,并记录朝上的面上标记的数字,若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.
(1)对某批玩具中随机抽取20件进行检验,将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图(如图所示),试估计这批玩具的合格率;
(2)现有该种类玩具一个,将其抛掷100次,并记录朝上的一面标记的数字,得到如下数据:
朝上面的数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
次数 | 9 | 7 | 8 | 6 | 10 | 9 | 9 | 8 | 10 | 9 | 7 | 8 |
1)试判定该玩具是否合格;
2)将该玩具抛掷一次,记事件:向上的面标记数字是完全平方数(能写成整数的平方形式的数,如,9为完全平方数);事件:向上的面标记的数字不超过4.试根据上表中的数据,完成以下列联表(其中表示的对立事件),并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能否认为事件与事件有关.
合计 | |||
合计 | 100 |
(参考公式及数据: , )
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【题目】定义实数a,b间的计算法则如下a△b= .
(1)计算2△(3△1);
(2)对0<x<z<y的任意实数x,y,z,判断x△(y△z)与(x△y)△z的大小,并说明理由;
(3)写出函数y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出该函数的图象,并写出该函数单调递增区间和值域(只需要写出结果).
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