Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c=10，且 ．
（1）证明角C=90°；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，∵ ．

∴根据正弦定理得 ，整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．

∵0＜2A，2B＜π，

∴2A=2B，或2A+2B=π．

∵ ，A≠B，

∴A+B= ，即∠C=90°

（2）解：∵△ABC是以角C为直角的直角三角形，且c=10， ，a2+b2=c2，

∴可得：（ a）2+a2=100，

∴求得a=6，b=8．

∴△ABC的面积S= ab=24．

【解析】（1）根据正弦定理，二倍角公式化简已知可得sin2A=sin2B，结合角的范围可得2A=2B，或2A+2B=π，由 ，可得A≠B，从而可求A+B= ，即可得解．（2）由（1）及已知，利用勾股定理可求a，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．