Question

已知双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的顶点为A₁，A₂，与y轴平行的直线l交双曲线于点P，Q，则直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用三点共线建立方程，利用P（x₀，y₀）在双曲线上，化简即可求得轨迹方程．

解答： 解：设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），直线A₁P与直线A₂Q的交点M（x，y），
∵双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，
∴A₁（-m，0），A₂（m，0）
∴由A₁、P、M三点共线，得

y0

x0+m

=

y

x+m

，…①
由A₂、Q、M三点共线，得

y0

m-x0

=

y

x-m

，…②
联立①②，解得x₀=

m2

x

，y₀=

my

x

，
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

x02

m2

-

y02

n2

=1，
∴所求轨迹的方程为

m2

x2

-

m2y2

n2x2

=1
化简得，

x2

m2

+

y2

n2

=1（x≠0，y≠0）
故答案为：

x2

m2

+

y2

n2

=1（x≠0，y≠0）

点评：本题考查双曲线方程和性质，考查三点共线的知识和化简整理的能力，考查运算能力，属于中档题．