Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数y=f（x-1）+f（x+1）的最小值及取最小值时相应的x的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）化简函数的解析式为y=f（x-1）+f（x+1）=2

2

sin（

π

4

x+

π

4

），结合x的范围利用正弦函数的定义域和值域，求得y最小值及取最小值时相应的x的值．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=2，T=

2π

ω

=7+1=8，求得ω=

π

4

．
再根据五点法作图可得

π

4

×（-1）+φ=0，∴φ=

π

4

，
∴函数f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）函数y=f（x-1）+f（x+1）=2sin[

π

4

（x-1）+

π

4

]+2sin[

π

4

（x+1）+

π

4

]
=2sin

π

4

x+2cos

π

4

x=2

2

sin（

π

4

x+

π

4

），
再根据x∈[-2，2]，可得

π

4

x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
故当

π

4

x+

π

4

=-

π

4

时，即 x=-2时，函数y取得最小值为2

2

sin（-

π

4

）=-2．

点评：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．