Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=

π

3

．
（Ⅰ）若△ABC的面积等于

3

，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入得到关系式，再由△ABC的面积等于

3

，利用三角形面积公式列出关系式，两式联立求出a与b的值，即可对于△ABC的形状做出判断；
（Ⅱ）已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，由cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC为等边三角形，理由为：
∵c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4①，
∵△ABC的面积等于

3

②，
∴

1

2

absinC=

3

，即ab=4，
联立①②解得：a=b=2，
则△ABC为等边三角形；
（Ⅱ）由sinC+sin（B-A）=2sin2A，
变形得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
若cosA=0，即A=

π

2

，由c=2，C=

π

3

，得b=

2 3

3

，此时△ABC面积S=

1

2

bc=

4 3

3

；
若cosA≠0，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，
联立①③得：a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，此时△ABC面积为S=

1

2

absinC=

2 3

3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．