Question

给出以下五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②存在实数θ，使sinθ•cosθ=1
③函数y=sin（

5π

2

-x）是偶函数
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点
⑤α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①利用平方差公式及二倍角的余弦可得y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，从而可得其周期，继而可判断①；
②逆用二倍角的正弦可知sinθ•cosθ=

1

2

sin2θ，利用正弦函数的有界性可判断②；
③利用诱导公式可知sin（

5π

2

-x）=cosx，利用奇偶性的概念可判断③；
④令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，从而可知f（x）=x-sinx为R上的单调增函数，又f（0）=0，于是可判断④；
⑤举例α=

π

4

，β=-

5π

3

都是第一象限角，且α＞β，利用正切函数的性质及诱导公式可判断⑤．

解答： 解：①y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，其最小正周期T=

2π

2

=π，故①正确；
②∵sinθ•cosθ=

1

2

sin2θ，∴（sinθ•cosθ）_max=

1

2

，∴不存在实数θ，使sinθ•cosθ=1，故②错误；
③∵函数y=f（x）=sin（

5π

2

-x）=cosx，∴f（-x）=cos（-x）=cosx=f（x），∴函数y=sin（

5π

2

-x）是偶函数，故③正确；
④令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx为R上的单调增函数，又f（0）=0，
∴f（x）=x-sinx只有一个零点，即在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点，故④正确；
⑤α=

π

4

，β=-

5π

3

都是第一象限角，且α＞β，但tan

π

4

=1＜

3

=tan（-

5π

3

），故⑤错误．
综上所述，正确命题的序号是①③④，
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查二倍角公式的应用，考查正弦函数的奇偶性、单调性及函数的零点的综合应用，属于中档题．