Question

1．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，进而得出结论．

解答 解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
因为∠CAD=45°，AC=10海里，
所以△ACD是等腰直角三角形．
所以AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$（海里）．
在Rt△ABD中，因为∠DAB=60°，
所以BD=AD×tan 60°=5$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=5$\sqrt{6}$（海里）．
所以BC=BD-CD=（5$\sqrt{6}$-5$\sqrt{2}$）海里．
因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，
某国军舰正以每小时13海里的速度航行，
所以中国海监船到达C点所用的时间t₁=$\frac{AC}{30}$=$\frac{10}{30}$=$\frac{1}{3}$（小时），
某国军舰到达C点所用的时间t₂=$\frac{BC}{13}$=$\frac{5×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{13}$≈$\frac{5×（2.45-1.41）}{13}$=0.4（小时）．
因为$\frac{1}{3}$＜0.4，
所以中国海监船能及时赶到．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．