【题目】(1)若动点到定点
的距离与到定直线
:
的距离之比为
,求证:动点
的轨迹是椭圆;
(2)设(1)中的椭圆短轴的上顶点为,试找出一个以点
为直角顶点的等腰直角三角形
,并使得
、
两点也在椭圆上,并求出
的面积;
(3)对于椭圆(常数
),设椭圆短轴的上顶点为
,试问:以点
为直角顶点,且
、
两点也在椭圆上的等腰直角三角形
有几个?
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】
(1)假设动点坐标,利用条件,建立等式,化简可判断动点
的轨迹;
(2)根据条件可知,,
应是关于
轴对称,将直线方程与椭圆方程联立,从而可求
长,故可求面积;
(3)与(2)相同的求法,将直线方程与椭圆方程联立,求,
的长,利用
即可得出答案.
(1)动点
到定点
的距离与到定直线
:
的距离之比为
,化简可得:
,
动点
的轨迹是椭圆.
(2) 椭圆方程为
,
又 等腰直角三角形
是以
为直角顶点,
不妨设点在
轴左侧,则
点在
轴右侧,
若直线、
关于
轴对称且该三角形为等腰直角三角形,可取
,则
,
,
,
联立椭圆方程和直线方程可得:
,
消掉:可得:
,解得
故
,可得
根据两点间距离公式可得:
等腰直角三角形
是以
、
为直角边,
;
(3)椭圆方程为
,
,设
,
联立椭圆方程和直线方程可得:
,
消掉可得:
,
解得
,
又 根据弦长公式可得:
,
同理可得,
,
,
化简可得: ,即:
,
可得或
当且
,即
时,
有三个解,即这样的三角形有
个;
当时,即当
时,方程
为
,解得
,这样的三角形只有
个;
当时,即当
时,
只有一个解,即这样的三角形有
个.
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【题目】已知函数的定义域是
,且
,
,当
时,
.
(1)判断的奇偶性,并说明理由;
(2)求在区间
上的解析式;
(3)是否存在整数,使得当
时,不等式
有解?证明你的结论.
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【题目】过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是
的中点;
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当P坐标为时,求直线l的方程;
(3)求证:是一个定值.
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【题目】若数列前
项和为
(1)若首项,且对于任意的正整数
均有
,(其中
为正实常数),试求出数列
的通项公式.
(2)若数列是等比数列,公比为
,首项为
,
为给定的正实数,满足:①
,且
②对任意的正整数
,均有
;试求函数
的最大值(用
和
表示)
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【题目】设为实数,函数
.
(1)若函数是偶函数,求实数
的值;
(2)若,求函数
的最小值;
(3)对于函数,在定义域内给定区间
,如果存在
,满足
,则称函数
是区间
上的“平均值函数”,
是它的一个“均值点”.如函数
是
上的平均值函数,
就是它的均值点.现有函数
是区间
上的平均值函数,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
的离心率
,若椭圆的左、右焦点分别为
,
,椭圆上一动点
和
,
组成
的面积最大为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在直线:
和椭圆相交于不同的两点
,
,且原点
与
,
连线的斜率之和满足:
.求直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+1|(a∈R),g(x)=|2x﹣1|+2.
(1)若a=1,证明:不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R成立;
(2)若对任意的m∈R,都有t∈R,使得f(m)=g(t)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】冬季历来是交通事故多发期,面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题,针对近期事故暴露出来的问题,强薄羽、补短板、堵漏洞,进一步推动五大行动,巩固扩大五大行动成果,全力确保冬季交通安全形势稳定.据此,某网站推出了关于交通道路安全情况的调查,通过调查年龄在的人群,数据表明,交通道路安全仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人,并将这100人按年龄分组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(2)现在要从年龄较大的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查,求第2组恰好抽到1人的概率;
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