Question

已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．
解答：解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，（2分）
又，∴，∴a²=4      （3分）
所以椭圆C的方程是．…（4分）
（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1①
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是  ②…（6分）
由①②解得．
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…（7分）
事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x²+y²=1，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0（8分）
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1）
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（k²+1）x₁x₂-（x₁+x₂）+=
∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（11分）
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…（12分）
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．