Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+bn（b为常数），且对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于S_n=n²+bn（b为常数），可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．当n=1时，a₁=S₁=1+b，即可得出．由于对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k构成等比数列．利用等比数列的性质即可得出．
（2）

1

anan+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+bn（b为常数），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-[（n-1）²+b（n-1）]=2n-1+b．
当n=1时，a₁=S₁=1+b，符合上式．
∴a_n=2n-1+b．∵对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k构成等比数列．
∴（4k-1+b）²=（2k-1+b）（8k-1+b），化为2k（b-1）=0，
∴b=1．
∴a_n=2n．
（2）∵

1

anan+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)，
不等式T_n＜

3

13

即为

1

4

(1-

1

n+1

)＜

3

13

，解得n＜12．
∴使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值为11．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式、“裂项求和”方法、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．