Question

【题目】如图所示，三棱锥放置在以为直径的半圆面上，为圆心，为圆弧上的一点，为线段上的一点，且，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当二面角的平面角为时，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）通过勾股定理，证明，得到平面，再证明平面，得到平面平面.

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设，表示出面的一个法向量和面的一个法向量，然后将二面角转化为两个法向量之间的夹角，利用向量的夹角公式，求出，从而得到的值.

解：（Ⅰ）证明：由，

，

∴，

又且，

∴平面.

∵平面，

∴，

由，圆心为中点，所以.

因，故平面，

又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且，过点作的平行线，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知，，，，

设，

则， ，

设为平面的一个法向量，

则，

令，则，所以，

取平面的一个法向量为.

因为二面角的平面角为，

所以，

解得或（舍去），

所以当二面角的平面角为时，.

，