【题目】已知椭圆经过点
,
的四个顶点围成的四边形的面积为
.
(1)求的方程;
(2)过的左焦点
作直线
与
交于
、
两点,线段
的中点为
,直线
(
为坐标原点)与直线
相交于点
,是否存在直线
使得
为等腰直角三角形,若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,直线
的方程为
或
.
【解析】
(1)由题中条件得出关于、
的方程组,解出
与
的值,可得出椭圆
的方程;
(2)设直线的方程为
,设点
,
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,求出线段
的中点
的坐标,得出直线
的方程,可求出点
的坐标,利用斜率关系得知
,由此得出
,利用距离公式可求出
的值,即可对问题进行解答.
(1)依题意,得,
,将
代入
,
整理得,解得
,所以
的方程为
;
(2)由题意知,直线的斜率不为
,设
,
,
.
联立方程组,消去
,整理得
,
由韦达定理,得,
.
所以,
,
即,所以直线
的方程为
,
令,得
,即
,所以直线
的斜率为
,
所以直线与
恒保持垂直关系,故若
为等腰直角三角形,只需
,
即,
解得,又
,所以
,所以
,
从而直线的方程为
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学生从全校学生中随机选取名统计他们的鞋码大小,得到如下数据:
鞋码 | 合计 | ||||||||||
男生 | |||||||||||
女生 |
以各性别各鞋码出现的频率为概率.
()从该校随机挑选一名学生,求他(她)的鞋码为奇数的概率.
()为了解该校学生考试作弊的情况,从该校随机挑选
名学生进行抽样调查.每位学生从装有除颜色外无差别的
个红球和
个白球的口袋中,随机摸出两个球,若同色,则如实回答其鞋码是否为奇数;若不同色,则如实回答是否曾在考试中作弊.这里的回答,是指在纸上写下“是”或“否”.若调查人员回收到
张“是”的小纸条,试估计该校学生在考试中曾有作弊行为的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制右图所示频率分布直方图,已知之间三组的人数可构成等差数列.
(1)求的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为消费金额与性别有关?
(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄
进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程
.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)
,其中
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动点到定点
的距离比
到定直线
的距离小1.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线
,分别交曲线
于点
和
.设线段
,
的中点分别为
,求证:直线
恒过一个定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,
,
为
的中点,过
的平面与
交于点
.
(1)求证:点为
的中点;
(2)四边形是什么平面图形?说明理由,并求其面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,直线
与圆
交于
,
两点.
(1)求圆的直角坐标方程及弦
的长;
(2)动点在圆
上(不与
,
重合),试求
的面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A,B两地相距24km.甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地.甲车从A地到B地需行驶25min;乙车从A地到B地需行驶20min.乙车比甲车晚出发2min.
(1)分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式;
(2)甲、乙两车何时在途中相遇?相遇时距A地多远?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一~五组区间分别为
,
,
,
,
,
).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
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