Question

【题目】已知椭圆C： + =1（0＜b＜3）的左右焦点分别为E，F，过点F作直线交椭圆C于A，B两点，若 且
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点O为原点，圆D：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）与椭圆C交于M，N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR||OS|为常数．

Answer 1

【答案】
（1）解：设|BF|=m，则|AF|=2m，|BE|=6﹣m，|AE|=6﹣2m，|AB|=3m．

则有（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2，解得m=1

∴|AF|=2，|BE|=5，|AE|=4，|AB|=3，

∴|AB|2+|AE|2=|BE|2，∴AE⊥AF．

于是，在Rt△AEF中，|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20，

所以|EF|=2 ，所以b2=9﹣（ ）2=4，

椭圆C的方程为 ．

（2）证明：由条件可知M、N两点关于x轴对称，

设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，﹣y1），

=1， ，

所以 ， ．

直线PM的方程为 ，

令y=0得点R的横坐标 ，

同理可得点S的横坐标 ．

于是

= ，

所以，|OR||OS|为常数9．

【解析】（1）设|BF|=m，推导出（6﹣2m）2+（3m）2=（6﹣m）2 ， 从而m=1，进而AE⊥AF．由此能求出椭圆C的方程．（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1 ， y1），P（x0 ， y0），则N（x1 ， ﹣y1），直线PM的方程为 ，令y=0得点R的横坐标 ，同理可得点S的横坐标 ．由此能证明|OR||OS|为常数．