Question

已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l₁：y＝2x，l₂：y＝－2x.

(1)求双曲线E的离心率．

(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l₁，l₂于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解　(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，

所以＝2，所以＝2，故c＝a，

从而双曲线E的离心率e＝＝.

(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，

则|OC|＝a，|AB|＝4a.

又因为△OAB的面积为8，

所以|OC|·|AB|＝8，

因此a·4a＝8，解得a＝2，

此时双曲线E的方程为－＝1.

若存在满足条件的双曲线E，

则E的方程只能为－＝1.

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．

设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

由S_△OAB＝|OC|·|y₁－y₂|，得

即m²＝4|4－k²|＝4(k²－4)．

由得(4－k²)x²－2kmx－m²－16＝0.

因为4－k²<0，

所以Δ＝4k²m²＋4(4－k²)(m²＋16)

＝－16(4k²－m²－16)．

又因为m²＝4(k²－4)，

所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.