Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点．
（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；
（2）若AB=$\sqrt{2}$PC，求证：CG⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）推导出PD与OE共面，由PD∥平面ACE，得PD∥OE，由此能证明E为PB的中点．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CG⊥平面PBD．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，
G为PO中点．
∴OE?平面PBD，∴PD与OE共面，
∵PD∥平面ACE，OE?平面ACE，∴PD∥OE，
∵底面ABCD是正方形，
AC与BD交于点O，
∴O是BD中点，∴E为PB的中点．
解：（2）以C为原点，CD为x轴，
CB为y轴，CP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设PC=$\sqrt{2}$，则AB=$\sqrt{2}$PC=2，
则O（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），G（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），
C（0，0，0），B（0，2，0），D（2，0，0），
$\overrightarrow{CG}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PB}$=0+1-1=0，$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PD}$=1+0-1=0，
∴$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PD}=0$，
∴CG⊥PB，CG⊥PD，
∵PB∩PD=P，∴CG⊥平面PBD．

点评 本题考查点为线段中点的证明，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．